ilmu matematika

Kalkulus

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Aljabar

Penemu Aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.

Analisis matematika

Analisis matematika merupakan sebuah analisis yang mempelajari berbagai macam dalam bidang Matematika dan Fisika. Ditemukan pertama kali oleh Leonhard Euler. Euler juga menggunakan bakatnya dalam hal analisa matematika tentang permasalahan astronomi, khusus menyangkut soal "tiga-badan" yang berkaitan dengan masalah bagaimana matahari, bumi, dan bulan bergerak di bawah gaya berat mereka masing-masing yang sama. Masalah ini --suatu masalah yang jadi pemikiran untuk abad ke-21-- belum sepenuhnya terpecahkan. Kebetulan, Euler satu-satunya ilmuwan terkemuka dari abad ke-18 yang (secara tepat, seperti belakangan terbukti) mendukung teori gelombang cahaya.


Model Matematika

Apabila fenomena fisik yang dibuat model matematikanya adalah fenomena kontinyu (jadi mengandung unsur-unsur tak terhingga, misalnya fenomena cahaya yang merupakan bentuk tenaga dengan satuan terkecil disebut foton), model matematika yang dihasilkan adalah model pendekatan.

Suatu model matematika sebagai pendekatan terhadap suatu fenomena (alami atau buatan) hanya mencakup sebanyak hingga pengamatan atau hanya mencakup daerah yang terbatas dari fenomena tersebut (yg tak terbatas) atau hanya bersifat diskrit, walaupun model tersebut masih dianggap sebagai bentuk yang sangat ideal dan yg sangat mendekati fenomena fisik aslinya.

Di masa lalu, cabang-cabang matematika yg mempelajari fenomena fisik kontinyu (gelombang, panas, elastisitas suatu material, gerak cairan, dsb) mendominasi cabang-cabang matematika yang bisa diterapkan pada berbagai fenomena fisik seperti yang biasa dipelajari dalam fisika dan kimia. Sebagai akibatnya, cabang-cabang matematika ini digolongkan dalam kelompok matematika terapan atau matematika fisika.

Tetapi sejak berkembangnya ilmu-ilmu komputer, penerapan cabang-cabang matematika yg mempelajari fenomena-fenomena yang bukan sekedar diskrit, bahkan berhingga, berkembang dengan cepat. Sebagai contoh, konsep lapangan hingga (Inggris: finite fields) yang dulu dianggap sebagai cabang murni dari ilmu aljabar merupakan salah satu tulang punggung penting dalam coding theory.

Demikian pula, teori ukuran (Inggris: measure theory) semakin banyak penerapannya, khususnya dalam teori fraktal dan kaitannya dengan teori chaos. Tentu saja para matematikawan masih bisa mempelajari aspek-aspek dari teori fraktal dan chaos tanpa harus mendalami teori ukuran.

Untuk fenomena fisik yang berhingga, model matematikanya (misalnya model dan perumusan matematis untuk sinyal, decoder dan encoder kode Reed-Muller), yang dibuat bukan lagi model pendekatan, tetapi sudah merupakan model eksak.

Pada beberapa cabang-cabang matematika tertentu, istilah 'model matematika' bisa dipersempit dan sebagai akibatnya, definisi atau pengertian (yang khusus) dari kata 'model matematika' dalam suatu cabang matematika bisa berbeda dengan arti kata yang sama di cabang matematika yang lain.

Di bawah ini diberikan gambaran umum satu kelompok model-model matematika dalam suatu cabang matematika yang besar dan luas, walaupun biasanya masih tergolong dalam kelompok matematika terapan.

Model Matematika Dalam Optimisasi dan Kontrol

Seringkali para insinyur atau engineer menganilisis suatu sistem dari suatu fenomena (alam atau buatan) dengan tujuan agar sistem tersebut terkontrol atau bisa dioptimalkan kinerjanya dengan membuat model matematikanya.

Dalam analisis, para insinyur dan engineer dapat membuat model deskripsi dari sistem sebagai perkiraan (hipotesis) bagaimana sistem bisa bekerja, atau bagaimana kejadian yang akan datang bisa memengaruhi sistem. Demikian pula, dalam pengkontrolan terhadap suatu sistem, para insinyur dan engineer bisa mencoba beberapa cara mengontrol melalui simulasi.

Sebuah model matematika dalam optimisasi dan kontrol biasanya menggambarkan suatu sistem sebagai kombinasi dari sekumpulan peubah (variables) dan sekumpulan persamaan yang menyatakan hubungan antara peubah-peubah tersebut. Nilai-nilai dari peubah bisa apa saja; berupa bilangan-bilangan alami (real) atau bulat, Boolean atau berupa barisan angka-angka dan karakter (strings).

Peubah-peubah tersebut menyajikan beberapa sifat dari sistem, misalnya nilai luaran (output) dari hasil pengukuran, data waktu, alat hitung, banyaknya suatu kejadian muncul atau terulang, dsb. Model matematika yang sesungguhnya di sini adalah sekumpulan fungsi-fungsi yang menyatakan hubungan antara beberapa peubah-peubah yang berbeda.

Untuk referensi lebih rinci (tentang building blocks, tujuan dan kendala-kendala, jenis-jenis peubah, dsb, dari model ini, dipersilahkan membaca di [1]

Teori Model

Dalam matematika, Teori Model adalah ilmu yang menyajikan konsep-konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu tentang model-model yang mendukung suatu sistem matematis.

Teori Model diawali dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya keberadaan semua bilangan) dan kemudian mencari dan menganilisis keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi atau aksioma-aksioma yang melekat pada masing-masing obyek atau pada kumpulan obyek-obyek tersebut.

Independensi dua hukum matematis - yang lebih dikenal dengan nama axiom of choice dan continuum hypothesis - dari aksioma-aksioma teori himpunan (dibuktikan oleh Paul Cohen dan Kurt Gödel) adalah dua hasil terkenal yang diperoleh dari Teori Model.

Telah dibuktikan bahwa axiom of choice dan negasinya konsisten dengan aksioma-aksioma Zermelo-Fraenkel dalam teori himpunan dan hasil yang sama juga dipenuhi oleh continuum hypothesis. In adalah contoh penerapan metoda Teori Model pada aksioma-aksioma teori himpunan.

Sebuah contoh dari teori model bisa disajikan oleh himpunan semua bilangan alami R bersama-sama himpunsn semua relasi dan/atau fungsi-fungsi, misalnya { ×, +, −, ., 0, 1 }.

Pernyataan yang dilambangkan dengan

"∃y (y × y = 1 + 1)"

adalah benar untuk y € R, sebab kita bisa mendapatkan akar 2 sebagai solusinya. Tetapi pernyataan yg sama bernilai salah apabila y diharuskan bilangan rasional.

Pernyataan yang agak mirip

"∃y (y × y = 0 − 1)",

bernilai salah apabila y diharuskan bernilai real, tetapi pernyataan tersebut bernilai benar apabila y dibolehkan bernilai kompleks.

Jadi nilai benar atau salah suatu pernyataan dalam pembicaraan tentang sembarang unsur y dari suatu himpunan, tergantung pada himpunan yang memuat y tersebut. Himpunan ini disebut himpunan semesta atau semesta pembicaraan dari pernyataan tersebut.


Teori Graf

Dalam matematika dan ilmu komputer, teori graf adalah cabang kajian yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara informal, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut simpul (vertex atau node) yang terhubung oleh sisi (edge) atau busur (arc). Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan simpul) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi) atau garis berpanah (melambangkan busur). Suatu sisi dapat menghubungkan suatu simpul dengan simpul yang sama. Sisi yang demikian dinamakan gelang (loop).

Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf. Jaringan persahabatan pada Friendster bisa direpresentasikan dengan graf: simpul-simpulnya adalah para pemakai Friendster dan ada sisi antara A dan B jika dan hanya jika A berteman (berkoinsidensi) dengan B. Perkembangan algoritma untuk menangani graf akan berdampak besar bagi ilmu komputer.

Sebuah struktur graf bisa dikembangkan dengan memberi bobot pada tiap sisi. Graf berbobot dapat digunakan untuk melambangkan banyak konsep berbeda. Sebagai contoh jika suatu graf melambangkan jaringan jalan maka bobotnya bisa berarti panjang jalan maupun batas kecepatan tertinggi pada jalan tertentu. Ekstensi lain pada graf adalah dengan membuat sisinya berarah, yang secara teknis disebut graf berarah atau digraf (directed graph). Digraf dengan sisi berbobot disebut jaringan.

Jaringan banyak digunakan pada cabang praktis teori graf yaitu analisis jaringan. Perlu dicatat bahwa pada analisis jaringan, definisi kata "jaringan" bisa berbeda, dan sering berarti graf sederhana (tanpa bobot dan arah).

Sedikit lebih formal

Suatu graph G dapat dinyatakan sebagai G = < V,E > . Graph G terdiri atas himpunan V yang berisikan simpul pada graf tersebut dan himpunan dari E yang berisi sisi pada graf tersebut. Himpunan E dinyatakan sebagai pasangan dari simpul yang ada dalam V. Sebagai contoh definisi dari graf pada gambar di atas adalah : V = {1,2,3,4,5,6} dan E = {(1,2),(1,5),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2),(4,6)}


Gambar dengan node yang sama dengan yang diatas, tapi merupakan digraf.

Pada digraf maka pasangan-pasangan ini merupakan pasangan terurut. Untuk menyatakan digraf (gambar kedua yang menggunakan tanda panah) kita dapat menggunakan himpunan edge sebagai berikut :

E = { < 1,2 > , < 1,5 > , < 2,5 > , < 3,2 > , < 4,3 > , < 5,4 > , < 4,6 > }

Dalam himpunan edge untuk digraf, urutan pasangan verteks menentukan arah dari edge tersebut.

Dalam teori graf, formalisasi ini untuk memudahkan ketika nanti harus membahas terminologi selanjutnya yang berhubungan dengan graph. Beberapa terminologi berhubungan dengan teori graf :

* Degree atau derajat dari suatu node, jumlah edge yang dimulai atau berakhir pada node tersebut. Node 5 berderajat 3. Node 1 berderajat 2.
* Path suatu jalur yang ada pada graph, misalnya antara 1 dan 6 ada path b \rightarrow c \rightarrow g
* Cycle siklus ? path yang kembali melalui titik asal 2 f \rightarrow c \rightarrow d \rightarrow e kembali ke 2.
* Tree merupakan salah satu jenis graf yang tidak mengandung cycle. Jika edge f dan a dalam digraf diatas dihilangkan, digraf tersebut menjadi sebuah tree. Jumlah edge dalam suatu tree adalah nV - 1. Dimana nV adalah jumlah vertex
* Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Graf G disebut graf tak berarah (undirected graph) jika setiap sisinya tidak berarah. Dengan kata lain (vi,vj)=(vj,vi)
* Graf Berarah (Directed Graph) Graf G disebut graf berarah (directed graph) jika setiap sisinya berarah. Titik awal dari suatu sisi disebut verteks awal (initial vertex) sedangkan titik akhir dari suatu sisi disebut verteks akhir (terminal vertex). Loop pada graf adalah sisi yang verteks awal dan verteks akhirnya sama.
Dalam matematika dan ilmu komputer, teori graf adalah cabang kajian yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara informal, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut simpul (vertex atau node) yang terhubung oleh sisi (edge) atau busur (arc). Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan simpul) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi) atau garis berpanah (melambangkan busur). Suatu sisi dapat menghubungkan suatu simpul dengan simpul yang sama. Sisi yang demikian dinamakan gelang (loop).

Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf. Jaringan persahabatan pada Friendster bisa direpresentasikan dengan graf: simpul-simpulnya adalah para pemakai Friendster dan ada sisi antara A dan B jika dan hanya jika A berteman (berkoinsidensi) dengan B. Perkembangan algoritma untuk menangani graf akan berdampak besar bagi ilmu komputer.

Sebuah struktur graf bisa dikembangkan dengan memberi bobot pada tiap sisi. Graf berbobot dapat digunakan untuk melambangkan banyak konsep berbeda. Sebagai contoh jika suatu graf melambangkan jaringan jalan maka bobotnya bisa berarti panjang jalan maupun batas kecepatan tertinggi pada jalan tertentu. Ekstensi lain pada graf adalah dengan membuat sisinya berarah, yang secara teknis disebut graf berarah atau digraf (directed graph). Digraf dengan sisi berbobot disebut jaringan.

Jaringan banyak digunakan pada cabang praktis teori graf yaitu analisis jaringan. Perlu dicatat bahwa pada analisis jaringan, definisi kata "jaringan" bisa berbeda, dan sering berarti graf sederhana (tanpa bobot dan arah).
[sunting] Sedikit lebih formal

Suatu graph G dapat dinyatakan sebagai G = < V,E > . Graph G terdiri atas himpunan V yang berisikan simpul pada graf tersebut dan himpunan dari E yang berisi sisi pada graf tersebut. Himpunan E dinyatakan sebagai pasangan dari simpul yang ada dalam V. Sebagai contoh definisi dari graf pada gambar di atas adalah : V = {1,2,3,4,5,6} dan E = {(1,2),(1,5),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2),(4,6)}


Gambar dengan node yang sama dengan yang diatas, tapi merupakan digraf.

Pada digraf maka pasangan-pasangan ini merupakan pasangan terurut. Untuk menyatakan digraf (gambar kedua yang menggunakan tanda panah) kita dapat menggunakan himpunan edge sebagai berikut :

E = { < 1,2 > , < 1,5 > , < 2,5 > , < 3,2 > , < 4,3 > , < 5,4 > , < 4,6 > }

Dalam himpunan edge untuk digraf, urutan pasangan verteks menentukan arah dari edge tersebut.

Dalam teori graf, formalisasi ini untuk memudahkan ketika nanti harus membahas terminologi selanjutnya yang berhubungan dengan graph. Beberapa terminologi berhubungan dengan teori graf :

* Degree atau derajat dari suatu node, jumlah edge yang dimulai atau berakhir pada node tersebut. Node 5 berderajat 3. Node 1 berderajat 2.
* Path suatu jalur yang ada pada graph, misalnya antara 1 dan 6 ada path b \rightarrow c \rightarrow g
* Cycle siklus ? path yang kembali melalui titik asal 2 f \rightarrow c \rightarrow d \rightarrow e kembali ke 2.
* Tree merupakan salah satu jenis graf yang tidak mengandung cycle. Jika edge f dan a dalam digraf diatas dihilangkan, digraf tersebut menjadi sebuah tree. Jumlah edge dalam suatu tree adalah nV - 1. Dimana nV adalah jumlah vertex
* Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Graf G disebut graf tak berarah (undirected graph) jika setiap sisinya tidak berarah. Dengan kata lain (vi,vj)=(vj,vi)